نظريه ي تابع ها از يک متغيير مختلط شامل برخي از قوي ترين و مفيد ترين وپر کاربرد ترين ابزارهاي تحليل رياضي است.براي انکه دست کم تا هدودي اهمييت متغير هاي مختلف را نمايش دهيم چند مبهث از کاربرد هاي انها را به اختصار بر مي شمريم .

۱.در مورد بسياري از زوج تابع هايu v ,همuوهم vدر معادله ي لاپلاس در دو بعد واقعي صدق ميکنند .

براي مثال يا vياu را ميتوان براي توصيف پتانسيل الکتروستاتيکي دو بعدي به کار برد . آن گاه ميتوان از تابع ديگري براي توصيف ميدان الکتريکي Eبهره گرفت که يک دسته از منحني هاي عمود بر منحني هاي مربوط به تابع اوليه را ارائه مي کند يک موقعيت مشابه براي هيدروديناميک از يک شاره ايده ال با حرکت غير چرخشي نيز وجود دارد تابع uبايد پتانسيل سرعت را توصيف کند در حالي که تابع vتابع جريان خواهد بود.

درمواردبسياريکه تابع هاي u,vمجهولند مي توانيم به ياري نگاشت يا تبديل در صفحه ي مختلط دستگاه مختصات مناسب با مسئله ي مورد نظر بسازيم .

٢.اعداد مختلط(در بخش ۱-۶) از زوج هاي اعداد حقيقي ساخته مي شوند بنابر اين حوزه ي اعداد حقيقي به طور طبيعي در حوزه ي اعداد مختلط جا سازي ميشوند. در اصطلاح هاي رياضي حوزه ي اعداد مختلط تعميمي از حوزه ي اعداد حقيقي است و بعداً در جهت هر چند جمله اي به ترتيب n (در حالت کلي )صفر مختلط کامل ميشود . اين واقعيت ابتدا به وسيله ي گاوس اثبات شد و قضيه اصلي جبر ناميده شد (بخش ۶-۴و۷-٢ را ببينيد ) به صورت يک نتيجه تابع هاي حقيقي سري حقيقي بي نهايت و انتگرال ها معمولا ميتوانند به طور طبيعي به اعداد مختلط ساده به وسيله ي نشاندن يک متغير حقيقي x براي مثال به جاي مختلط z تعميم داده شوند .

در فصل ۸خواهيم ديد که معادله هاي ديفرانسيل مر تبه ي دومي که در فيزيک مطرح مي شوند مي توان به کمک سري تواني حل کرد.

اگر به جاي x متغير مختلط z را قرار دهيم همين سري تواني را ميتوان در صفحه ي مختلط نيز به کار برد. وابستگي جوابدر نقطه ي معلوم ₀ z ،به رفتار در هر جاي ديگر ،نگرش گسترده تري درباره ي جواب به ما مي دهدو ابزاري قوي(ادامه تحليلي) براي گستردن ناحيه اي به شمار مي آيد که در آن جواب صادق است.